Geometría

RECTAS Y ÁNGULOS

RECTAS PARALELAS:  Dos líneas son paralelas si siempre están a la misma distancia (se llaman "equidistantes"), y no se van a encontrar nunca. (También apuntan en la misma dirección).



n//m

RECTAS PERPENDICULARES: Son aquellas que al intersectarse forma un ángulo de 90°; como lo podemos notar en la imagen.

ÁNGULOS 

ÁNGULO ADYACENTE: Dos ángulos son adyacentes, contiguos o consecutivos los que están situados, uno a continuación del otro de manera que un lado es común (el mismo) para los dos ángulos y los otros dos lados pertenecen a una misma recta:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS: Si los dos ángulos suman 90°, decimos que "se complementan". Complementario viene del latín completum que significa "completo"... porque un ángulo recto se consideraba un ángulo completo.

ÁNGULO SUPLEMENTARIO: Dos ángulos son suplementarios si al sumarlos el resultado es 180 grados. No necesitan estar juntos para ser suplementarios con tal de que la suma sea 180 grados.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1. ¿Cuál es el complemento de 75º?

a) 180ºb) 25ºc) 15ºd) 90º

Solución:

Sea x = complemento de 75º. Por definición de ángulos complementarios:

x  + 75º = 90º→x = 90º - 75ºx = 15º



2.Tiene la medida del ángulo 5x. a) X =   5º, 5x = 175º b) X = 10º, 5x = 50º c) X = 20º, 5x = 100º d) X = 15º, 5x = 75º CORRECTO

d ; X = 15º, 5x = 75º ; porque x + 5x = 90º

3.El inciso que tiene la medida del ángulo x. a) X = 117º b) X = 297º c) X = 37º d) X = 27º CORRECTO

d ; X = 27º ; porque 63º + x = 90º 4. El inciso que tiene la medida de los ángulos x, 2x y 3x. a) x = 50º, 2x = 100º, 3x = 150º b) x = 30º, 2x = 60º, 3x = 90º CORRECTO c) x = 20º, 2x = 40º, 3x = 60º d) x = 50º, 2x = 70º, 3x = 80º b ; x = 30º, 2x = 60º, 3x = 90º ;

Ángulos Verticales 

La Trigonometría, para trabajar con objetos que se encuentran por sobre y por debajo de ángulo de visión u horizonte, utiliza ángulos verticales, aquellos ángulos que se forman en el plano entre la línea horizontal y alguna línea visual.

Hay dos tipos de ángulos verticales:

• Ángulos de elevación: es el formado por la horizontal y la línea visual formada cuando un objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. 
• Ángulos de depresión: es el formado por la horizontal y la línea visual formada cuando un objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal.

 

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. Concepto de perímetro

• Se llama perímetro de una figura plana a la longitud del borde de la figura.

Ejemplo: Calcular el perímetro de un cuadrado de 5 cm de lado.

                      P = 4 · 5 = 20 cm

  

2. Área de figura plana

• Se llama área de una figura plana a la medida de la superficie que ocupa.

a) Área del rectángulo: El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura. 

Ejemplo: Calcular el área de un rectángulo de 10 cm de base y 6 cm de altura.

A= 10. 6 =60 cm

b) Área de cuadrado: El área de un cuadrado se halla elevando al cuadrado la longitud del lado.            



Ejemplo: Calcular el área del siguiente cuadrado



ARITMÉTICA

Operaciones combinadas con números naturales

Prioridad de las operaciones

1º.Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves, si hay dentro del polinomio.

2º.Calcular las potencias y raíces.

3º.Efectuar los productos y cocientes.

4º.Realizar las sumas y restas.

Tipos de operaciones combinadas

1. Operaciones combinadas sin paréntesis

1.1 Combinación de sumas y diferencias.

9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones según aparecen.

= 9 − 7 + 5 + 2 − 6 + 8 − 4 = 7

1.2 Combinación de sumas, restas y productos.

3 x 2 − 5 + 4 x 3 − 8 + 5 x 2 = ¿?

Realizamos primero las multiplicaciones por tener mayor prioridad.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = ¿?

Efectuamos las sumas y restas.

= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 = 15

1.3 Combinación de sumas, restas, productos y divisiones.

10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =??

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = ¿?

Efectuamos las sumas y restas.

= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10

1.4 Combinación de sumas, restas, productos, divisiones y potencias.

2 + 10 ÷ 2 + 5 x 3 + 4 − 5 x 2 − 8 + 4 x 2 – 16 ÷ 4 =??

Realizamos primeros  los productos y cocientes.

= 2 + 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = ¿?

Efectuamos las sumas y restas.

= 26

2. Operaciones combinadas con paréntesis

(15 − 4) + 3 − (12 − 5 x 2) + (5 + 16 ÷ 4) − 5 + (10 − 2) =

Realizamos en primer lugar las operaciones de producto, divisiones contenidas en ellos.

= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 2) =

Quitamos paréntesis realizando las operaciones.

= 11 + 3 − 2 + 9 − 5 + 2 = 18

3. Operaciones combinadas con paréntesis y corchetes

[15 − (8 − 10 ÷ 2)] x [5 + (3 x 2 − 4)] − 3 + (8 − 2 x 3) =

Primero operamos con los productos y cocientes de los paréntesis.

= [15 − (8 − 5)] x [5 + (6 − 4)] − 3 + (8 − 6) =

Realizamos las sumas y restas de los paréntesis.

= [15 − 3] x [5 + 2] − 3 + 2 =

En vez de poner corchetes pondremos paréntesis directamente:

= (15 − 3) x (5 + 2) − 3 + 2=

Operamos en los paréntesis.

= 12 x 7 − 3 + 2

Multiplicamos.

= 84 − 3 + 2=

Restamos y sumamos.

= 83

Realiza las siguientes operaciones:

Nota: Cuando falta el signo de operación, es porque se trata de una multiplicación

1. 27 + 3 x 5 – 16 =

= 27 + 15 − 16 = 26

2. 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16=

27 + 3 – 9 + 16 = 37

3. (2 x 4 + 12) x (6 − 4) =

= (8 + 12) x (2) = 20 x 2 = 4 0

4. 3 x 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 =

= 27 + 8 – 3 = 32

5. 2 + 5 x (2 ·3) =

= 2 + 5 x 6 = 2 + 30 = 32

6. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] =

= 440 − (30 + 6 x 7)] = 440 − (30 + 42) =

= 440 − (72) = 368

7. 2{4[7 + 4 (5 x 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} =

= 2[4 (7 + 4 x 6) − 3 (32)] = 2[4 (7 + 24) − 3 (32)]=

= 2[4 (31) − 3 (32)]=

            = 2 (124 − 96)=

            = 2 (28)= 56

EVALUACION

Realizar las siguientes operaciones combinadas de números naturales. Realizar todos los procedimientos en cada problema.

1. 17 x 38 + 17 x 12 = Rta: 850

2. 6 x 59 + 4 x 59 = Rta: 590

3. (6 + 12) ÷ 3= Rta: 6

4. 7 x 5 – 3 x 5 + 16 x 5 – 5 x 4 = Rta: 80

5. 6 x 4 – 4 x 3 + 4 x 9 – 5 x 4 = Rta:28

6. 8 x 34 + 8 x 46 + 8 x 20 = Rta: 800

7. 27 + 3 x 5 – 16 = Rta: 26

8. 27 + 3 – 45 ÷ 5 + 16= Rta: 37

        9. (2 x 4 + 12) (6 − 4) = Rta: 40

10. 3 x 9 + (6 + 5 – 3) – 12 ÷ 4 = Rta: 32

11. 2 + 5 x (2 x3) = Rta: 42

12. 440 − [30 + 6 (19 − 12)] = Rta: 368

13. 2{4[7 + 4 (5 x 3 − 9)] − 3 (40 − 8)} = Rta: 56

14.7 x 3 + [6 + 2 x (8 ÷ 4 + 3 x 2) – 7 x2] + 9 ÷ 3 = Rta 32

          15. { [3 + 2 - (9 - 7) + (3 + 4) ] } = Rta 10

            16. {45 - 28 - (12 - 9) + (2 + 3) } = Rta:19

            17.     15 - { 4 + [5 - 4 + ( 9 - 3 ) ] - 16 } = Rta:2

            18.  24 + 5 - { 13 + 4 - 5 - [ 7 + ( 6 + 4 ) - 7 - 6 ] + 4 } = Rta:17

            19.  { [5 x 4 + ( 3 x 5) ] ÷ (56 ÷8) } ÷5 = Rta:1

            20. 100 + { 5 x 8 - [162 ÷  ( 9 x6) ] + 8 } = Rta:145

Problemas de números naturales

1 Dados los números 5, 7 y 9 forma todos los números posibles de tres cifras distintas, ordénalos de menor a mayor y súmalos. Rta: 4664

2El cociente de una división exacta es 504, y el divisor 605. ¿Cuál es el dividendo? Rta: 304920

3El cociente de una división entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. ¿Cuál es el resto? Rta: 6

4Pedro compró una finca por $643 750  y la vendió ganando $75 250. ¿Por cuánto lo vendió? Rta: 719000

5Con el dinero que tengo y $247  más, podría pagar una deuda de $525  y me sobrarían $37. ¿Cuánto dinero tengo? Rta: 315

6 Se compran 1600 Kg de mantequilla, a razón de $ 4 /Kg. Si las cajas para empacar cuestan $400  y se desea ganar con la venta $1200. ¿A cuánto debe venderse el kilogramo de mantequilla? Rta: $ 5 /Kg

7¿Cuántos años son 6 205 días? Consideramos que un año tiene 365 días.

9 En una piscina caben 45 000 litros. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15 litros por minuto? Rta: 50 Horas

10En un aeropuerto aterriza un avión cada 10 minutos. ¿Cuántos aviones aterrizan en un día? Rta: 144 aviones

11En una urbanización viven 4 500 personas y hay un árbol por cada 90 habitantes. ¿Cuántos árboles hay en la urbanización? ¿Cuántos árboles habrá que plantar para tener un árbol por cada 12 personas? Rta: 50 árboles, Rta: 325 árboles

ÁLGEBRA

POTENCIA

Potencia: base y exponente

Una potencia es un producto de varios factores iguales. Los términos de una potencias son la base y el exponente.

2 x 2 x 2 = 2³

·         La base es el factor que se repite. 2

·         El exponente es el número de veces que se repite la base. 3

Cuadrado y cubo de un número

·         El cuadrado de un número es igual al producto de dicho número por sí mismo. 3²= 3 x 3

·         El cubo de un número es igual al producto de dicho número por sí mismo tres veces. 2³ = 2x2x2

Lectura de potencias

Para leer una potencia se lee primero la base seguido de la palabra elevado y después el exponente: si es 2 se dice cuadrado, si es 3 se dice cubo, si es 4 se dice cuarta o cuatro y así sucesivamente.

3² = Tres elevado al cuadrado. 5⁴ = Cinco elevado a la cuarta o a cuatro.

Potencias de base 10

Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como unidades tiene el exponente.

10² = 100 10³ = 1000 10⁵ = 100.000

Escritura de número utilizando potencias

Un número grande se puede escribir en forma de potencia de base 10.

3.000.000 = 3 x 10⁶ 250.000 = 25 x 10⁴

Expresión polinómica de un número

La expresión polinómica de un número se puede escribir utilizando potencias de base 10.

27.438 = 20.000 + 7.000 + 400 + 30 + 8 =

2 x 10.000 + 7 x 1.000 + 4 x 100 + 3 x 10 + 8 =

2 x 10⁴ + 7 x 10³ + 4 x 10² + 3 x 10 + 8

Raíz cuadrada

La raíz cuadrada de un número es otro número que, elevado al cuadrado, es igual al primero.

25 = 5 porque 5² = 5 x 5 = 25

LENGUAJE ALGEBRAICO ECUACIONES (EJERCICIOS) 

LENGUAJE USUAL	LENGUAJE NUMÉRICO	LENGUAJE ALGEBRAICO
1.- El doble de 7.
2.- El doble de un número.
3.- El triple de 6.
4.- El triple de un número.
5.- La mitad de 8.
6.- La mitad de un número.
7.- La tercera parte de un número.
8.- El cuádruple de 5.
9.- El cuádruple de un número.
10.- El quíntuple de un número.
11.- 8 disminuye en 3 unidades.
12.- Un número disminuye en 2 unidades.
13.- 11 aumenta en 4 unidades.
14.- Un número aumenta en 3 unidades.
15.- El doble de 4 aumenta en 2 unidades.
16.- El doble de un número aumenta en 7 unidades.
17.- El cuadrado de 3.
18.- El cuadrado de un número.
19.- El cubo de 7.
20.- El cubo de un número.
21.- Un número elevado a la cuarta potencia.
22.- 3 al cuadrado más su doble.
23.- El cuadrado de un número más su doble.
24.- 8 al cubo menos su triple.
25.- El cubo de un número menos su triple.
26.- La mitad de 12 menos su tercera parte.
27.- La mitad de un número menos su tercera parte.
28.- La quinta parte de un número menos su sexta  parte.
29.- El cuadrado de 5 más el cuadrado de 3.
30.- La suma de los cuadrados de dos números.
31.- El cuadrado de la suma de 3 y 8.
32.- El cuadrado de la suma de dos números.
33.- El cubo de 2 más el cubo de 7.
34.- La suma de los cubos de dos números.
35.- El cubo de la suma de 2 y 3.
36.- El cubo de la suma de dos números.
37.- El cuadrado de la diferencia de 7 y 4.
38.- El cuadrado de la diferencia de dos números.
39.- La diferencia de los cuadrados de 5 y 2.
40.- La diferencia de los cuadrados de dos números.
41.- El cubo de la diferencia de dos números.
42.- La diferencia de los cubos de dos números.
43.- El número natural siguiente a n.
44.- El número natural anterior a n.
45.- Tres números naturales consecutivos.
46.- Un número múltiplo de 3.
47.- Un número múltiplo de 5.
48.- Un número par.
49.- Tres números pares consecutivos.
50.- Un número impar.
51.- Tres números impares consecutivos.